En mathématiques, une mesure est une fonction qui associe une « longueur », un « volume » ou encore une « probabilité » à certaines parties d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Formellement, une mesure μ est une fonction qui associe à chaque élément 
d'une σ-algèbre donnée 
une valeur 
, qui est un réel positif ou l'infini. Les propriétés suivantes doivent être vérifiées :
,
, 
, etc. sont des ensembles appartenant à , en quantité dénombrable et deux à deux disjoints, et si 
est leur réunion, alors la mesure 
est égale à la somme 
.Entre autres, 
.
Lorsque 
est une mesure sur la σ-algèbre , un élément de est dit μ-mesurable, ou plus simplement mesurable. Un ensemble 
conjointement avec une σ-algèbre sur et une mesure sur forment ce que l'on appelle un espace mesuré, noté 
.
Les propriétés suivantes peuvent être obtenues à partir des axiomes précédents :
et sont deux ensembles mesurables tels que est un sous-ensemble de , alors 
.
, , 
, etc. sont des ensembles mesurables et si 
est un sous-ensemble de 
pour tout 
, alors la réunion des ensembles est mesurable et 
.
, , , etc. sont des ensembles mesurables et si, pour tout , est un sous-ensemble de , alors l'intersection des ensembles est mesurable ; de plus, si au moins l'un des ensembles a une mesure finie, alors .Un ensemble est dit presque vide ou négligeable lorsqu'il est inclus dans une partie mesurable 
telle 
. La mesure μ est dite complète lorsque tout sous-ensemble d'un ensemble presque vide est mesurable (un tel sous-ensemble est automatiquement lui-même presque vide).
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Catégorie : Théorie de la mesure
Page imprimée samedi 18 février 2012 à partir de l'url :
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