mathématiques

Mathématiques

Euclide, détail de L'École d'Athènes par Raphaël.

Les mathématiques sont un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, ou par l'absurde, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les changements. Mais les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, pouvant porter les noms de théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité suit une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement déductif.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres sciences et dans les domaines de la technique. C'est ainsi que Eugène Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».

1. Historique

Voir l'article : histoire des mathématiques.

Euclide, d'après une peinture du XVIII^e siècle, série des portraits des hommes célèbres, galerie N. Urbin

Première page du Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) d'al-Khwarizmi.

(Crédit : al-Khwarizmi)

David Hilbert, mathématicien allemand, photo de 1912. C'est lui qui finit par résoudre l'équation diophantienne de degré 2, après plusieurs siècles d'efforts de la communauté mathématique. En 1915, il invite Noether à Göttingen malgré l'opposition de collègues, qui ne veulent pas qu'une femme enseigne à l'université. Cette même année, il a démontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe de moindre action.

Il est fort probable que l'homme a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Le premier objet reconnu attestant de compétences calculatoires est l'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels… Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée de l'Indus. Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, ont fait preuve d'abstraction. Deux branches se sont distinguées, l'arithmétique et la géométrie. Ont été formalisées les notions de démonstration et de définition axiomatique des objets d'étude. Les Éléments d'Euclide relatent d'une partie des connaissances géométriques en Grèce au III^e siècle avant notre ère.

La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière de représentation des nombres. Les travaux mathématiques se sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. Naquirent et se développèrent l'analyse combinatoire, l'analyse numérique, et l'algèbre polynomiale.

Durant la Renaissance européenne, une partie des textes arabes furent étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Le calcul algébrique se développe suite aux travaux de François Viète et René Descartes. Parallèlement, Newton et Leibniz redécouvrent le calcul infinitésimal, introduisant la notion de fluctante (vocable abandonné depuis). Au cours du XVIII^e siècle et du XIX^e siècle, les mathématiques connurent de forts développements avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment les groupes suite aux travaux d'Évariste Galois sur les équations polynomiales, ou les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind.

Le XIX^e siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira le XX^e siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique.

Le XX^e siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation.

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